تخمین نقاط منحنی درجه N به روش لاگرانژ (lagrange)

مجموعه روشهای تخمین نقاط واقع بر منحنی درجه N که اصطلاحاً به آنها Interpolation/Extrapolation (برونیابی/درونیابی) گفته می‌شود، روشهایی هستند که با دریافت مختصات چند نقطه معلوم (به تعداد درجه معادله) و ترسیم منحنی، می‌توانند مختصات یک نقطه دلخواه را با دریافت X یا Y آن تخمین بزنند.

به عبارت ساده‌تر، با داشتن چند مختصات مشخص از یک دنباله عددی درجه N، می‌توان مختصات هر نقطه دلخواه دیگری را تخمین زد.
واضح است که هر چقدر درجه N بالاتر بوده و تعداد نقاط معلوم بیشتر باشد، عمل تخمین با دقت بیشتری انجام می‌شود.

دو روش بسیار معروف در این زمینه، روشهای لاگرانژ و نیوتن هستند. از آنجا که این روشها، درجه N هستند، برای پیاده‌سازی آنها می‌بایست از آرایه‌های داینامیک و توابع بازگشتی استفاده کرد.

در زیر طریقه پیاده‌سازی روش لاگرانژ را مشاهده می‌فرمایید:

program Lagrang; { * Recursive Lagrange Function  By: Mohammad Shams * }
{$APPTYPE CONSOLE}

uses SysUtils;

type
  DynamicArray = array [0 .. 1] of array of real;
{ Dimension 0=X   Dimension 1=Y }

var
  v: DynamicArray;
  x: real;
  deg: byte;
  i: integer;
// With dynamic array we can calculate Lagrange degree of N

function Mult(buf: DynamicArray; n, j, k: byte; x: real): real;
begin
if k > n then
result := 1
else if k = j then
result := Mult(buf, n, j, k + 1, x)
else
result := (x - buf[0, k]) / (buf[0, j] - buf[0, k]) * Mult(buf, n, j, k + 1, x);
end;

function Lagrange(buf: DynamicArray; n, j: byte; x: real): real;
begin
if j <= n then
begin
result := Mult(buf, n, j, 0, x) * buf[1, j] + Lagrange(buf, n, j + 1, x);
end
else
result := 0;
end;

begin
try
    write('Enter Degree:');
    readln(deg);
    write('Enter X=');
    readln(x);

    setlength(v[0], deg + 1);
    setlength(v[1], deg + 1);

for i := 0 to deg do { input Xi,Yi }
begin
      write('Enter X', i, ':');
      readln(v[0, i]);
      write('Enter Y', i, ':');
      readln(v[1, i]);
end;

    writeln('X=', x:0:8, '  Lagrange=', Lagrange(v, deg, 0, x):0:8);

except
on E: Exception do
      writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
end;
  readln;

end.